二项式定理
二项式定理（Binomial Theorem）¶
二项式定理描述了形如 $(a + b)^n$ 的多项式展开形式：
\[
(a + b)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\cdot a^{n-i}\cdot b^i
\]
其中 $\binom{n}{i}$ 是组合数，表示从 $n$ 个元素中选出 $i$ 个的方式数。
示例：
当 $n = 2$ 时：
$(a + b)^2 = \binom{2}{0}\cdot a^2\cdot b^0 + \binom{2}{1}\cdot a^1\cdot b^1 + \binom{2}{2}\cdot a^0\cdot b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
这就是熟悉的完全平方公式。
性质与推论¶
性质一：组合数求和¶
\[
\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n
\]
证明： 令 $a = 1, b = 1$，带入二项式定理：
$(1 + 1)^n = \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$
性质二：奇偶交错和¶
\[
\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0
\]
证明： 令 $a = 1, b = -1$，带入二项式定理：
$(1 - 1)^n = 0 = \sum\limits_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i}$
性质三：偶数项和与奇数项和¶
当 $n \geq 1$ 时：
\[
\sum_{i \in \text{ even}} \binom{n}{i} = \sum_{i \in \text{ odd}} \binom{n}{i} = 2^{n - 1}
\]
其中 $\text{ even}$ 表示偶数，$\text{ odd}$ 表示奇数。
证明方法：
由性质一和二：
\[
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} &= 2^n \\
\sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} &= 0
\end{aligned}
\]
两式相加除以 $2$ 即可得到奇数项与偶数项相等，均为 $2^{n-1}$。
性质四：朱世杰恒等式¶
\[
\sum_{i=0}^n \binom{i}{m} = \binom{n+1}{m+1}
\]
证明思路（最大编号法）：
考虑从 $n+1$ 个物品中选 $m+1$ 个，总方案数为 $\binom{n+1}{m+1}$。
我们可以枚举所选物品中最大编号为 $i$，则在编号小于 $i$ 的 $i$ 个物品中选出 $m$ 个，其方案数为 $\binom{i}{m}$。
因此：
\[
\binom{n+1}{m+1} = \sum_{i=0}^n \binom{i}{m}
\]
总结表格：常见组合恒等式¶
| 恒等式 | 说明 |
|---|---|
| $\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$ | 所有组合数之和 |
| $\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} = 0$ | 交错符号组合数和 |
| $\sum\limits_{i=0,2,4,...} \binom{n}{i} = 2^{n-1}$ | 偶数项组合和 |
| $\sum\limits_{i=1,3,5,...} \binom{n}{i} = 2^{n-1}$ | 奇数项组合和 |
| $\sum\limits_{i=0}^n \binom{i}{m} = \binom{n+1}{m+1}$ | 最大编号法推导 |