向量

一、背景说明

在学习「向量」之前，先澄清一个小细节：

• 物理学中，通常把 vector 翻译为 矢量，与 标量 相对。
• 数学中，通常翻译为 向量，更强调代数与运算。

在信息学相关领域，我们与数学关系更近，因此采用「向量」这一译法。 👉 所以，以下内容统一称为「向量」。

直观例子： 在二维平面上，点 $(2,3)$ 可以表示为向量

\[ \vec{v} = \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix} \]

它可以看作从原点 $(0,0)$ 指向 $(2,3)$ 的一个箭头。

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二、表示方式

1. 几何表示：箭头，起点在原点，终点表示坐标。

2. 代数表示：一列或一行数。

   • 列向量：

     \[ \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \]

   • 行向量：

     \[ \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} \]

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二、基本概念

1. 向量
   • 定义：既有 大小 又有 方向 的量。
   • 数学上研究的向量一般是 自由向量：只要大小和方向不变，起点可以平移。
   • 记作：$\vec{a}$ 或 $\boldsymbol{a}$。

2. 有向线段

   • 起点、方向、长度三要素决定。
   • 通常用有向线段来表示向量。

3. 向量的模

   • $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为模，记作 $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\boldsymbol{a}|$。

4. 零向量

   • 大小为 $0$ 的向量，方向任意，记作 $\vec{0}$ 或 $\boldsymbol{0}$。

5. 单位向量

   • 模为 $1$ 的向量，常用来表示方向。
   • 记作 $\vec{e}$ 或 $\boldsymbol{e}$。
6. 平行向量（共线向量）
   • 方向相同或相反的两个非零向量。记作 $\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}$。
7. 相等与相反向量
   • 相等向量：模相等且方向相同。
   • 相反向量：模相等但方向相反。
8. 向量的夹角
   • 已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$，作 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则 $\theta=\angle AOB$ 为向量的夹角。
   • 记作 $\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$。
   • 特殊情况：
     • $\theta=0$：同向
     • $\theta=\pi$：反向
     • $\theta=\frac{\pi}{2}$：垂直（记作 $\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}$）

👉 注意：平面向量只能比较方向和模的大小，不能比较“谁大谁小”。

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四、向量的模

几何理解

向量的模，就是向量的 长度。 例如在二维平面上，$\overrightarrow{AB}$ 的模就是点 $A$ 到点 $B$ 的直线距离。

记作：

\[ |\vec{a}| \quad \text{或} \quad \|\vec{a}\| \]

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坐标形式下的计算公式

• 二维向量 如果

$$ \vec{a} = (x, y) $$

那么模为

$$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

👉 相当于用 勾股定理 计算直角三角形的斜边。

• 三维向量 如果

$$ \vec{a} = (x, y, z) $$

那么模为

$$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

• $n$ 维向量 一般情况下，

$$ \vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n) $$

模为

$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} $$

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例子

1. $\vec{a} = (3, 4)$

$$ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5 $$

1. $\vec{b} = (2, -1, 2)$

$$ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3 $$

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五、向量的线性运算

1. 向量加减法

• 直观类比：位移叠加。

  • 若人从 $A$ 走到 $B$，再从 $B$ 走到 $C$，其总位移为

  $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$

• 几何法则

  • 三角形法则：向量首尾相连，第一个起点到最后一个终点就是和。
  • 平行四边形法则：若两个向量同起点，它们的和是以它们为邻边的平行四边形的对角线。

• 坐标表示： 若 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1, z_1), \ \boldsymbol{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则

$$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2) $$

• 减法

$$ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} + (-\boldsymbol{b}) $$

即向量相减 = 被减向量与减向量的首尾相连。

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2. 向量数乘

• 定义：实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 的积，记作 $\lambda \boldsymbol{a}$。

• 性质：

  • 长度： $|\lambda \boldsymbol{a}| = |\lambda| \cdot |\boldsymbol{a}|$
  • 方向：
    • $\lambda > 0$：方向同 $\boldsymbol{a}$
    • $\lambda = 0$：结果为零向量
    • $\lambda < 0$：方向反向

• 运算律

$$ \lambda (\mu \boldsymbol{a}) = (\lambda \mu)\boldsymbol{a} $$

$$ (\lambda+\mu)\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{a} $$

$$ \lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b} $$

• 特别情况

$$ (-\lambda)\boldsymbol{a} = -(\lambda \boldsymbol{a}) $$

$$ \lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = \lambda \boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b} $$

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3. 向量点积（数量积）

• 定义：两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的点积记作

$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| \, |\boldsymbol{b}| \cos \theta $$

其中 $\theta$ 是 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角，$0 \leq \theta \leq \pi$。

• 几何意义：

  • $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| \cos\theta$，反映了一个向量在另一个向量方向上的投影乘以该向量的长度。
  • 若 $\theta < 90^\circ$，点积 $> 0$； 若 $\theta = 90^\circ$，点积 $= 0$（两向量垂直）； 若 $\theta > 90^\circ$，点积 $< 0$。

• 坐标表示： 若 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1, z_1), \ \boldsymbol{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则

$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 $$

• 运算律：

$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} \quad \text{（交换律）} $$

$$ (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \quad \text{（分配律）} $$

$$ (\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} = \lambda (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) $$

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4. 向量叉积（向量积）

• 定义： 两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的叉积（向量积）记作

$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $$

它的结果是一个新的向量，满足：

$$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| \, |\boldsymbol{b}| \, \sin \theta $$

方向垂直于 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 所在的平面，按右手法则确定。

• 几何意义： $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$ 等于以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形面积。

• 坐标表示： 若

$$ \boldsymbol{a} = (x_1, y_1, z_1), \quad \boldsymbol{b} = (x_2, y_2, z_2), $$

则

$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1 z_2 - z_1 y_2, \, z_1 x_2 - x_1 z_2, \, x_1 y_2 - y_1 x_2) $$

• 运算性质：

• $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = - (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a})$ （反交换性）

• $(\lambda \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b} = \lambda (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})$
• $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}$
• $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$

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向量运算结果类型总结表

运算	符号	结果	结果类型	说明
向量加法	$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$	向量	向量	分量相加，平行四边形法则
向量减法	$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$	向量	向量	分量相减，等于加上相反向量
数乘	$\lambda \boldsymbol{a}$	向量	向量	长度缩放，方向同/反
点积（数量积）	$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$	实数	标量	投影关系，大小 $\boldsymbol{a} \boldsymbol{b} \cos\theta$
叉积（向量积）	$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$	向量	向量	垂直于平面，大小 $\boldsymbol{a} \boldsymbol{b} \sin\theta$

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六、小结

向量作为「既有方向又有大小」的数学对象：

• 提供了几何直观（箭头表示）和代数工具（坐标表示）。
• 加法、减法和数乘使得它们能像数一样进行运算。
• 向量的模、方向、单位化、夹角等概念，是后续 点积、叉积、矩阵运算 的基础。

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